Question

【題目】設(shè)0＜x＜1，a＞0且a≠1，試比較|loga(1－x)|與|loga(1＋x)|的大小．

Answer 1

【答案】|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

【解析】主要考查對(duì)數(shù)運(yùn)算、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)。

解法一：作差法

|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=| |－||=(|lg(1－x)|－|lg(1＋x)|)

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＜1＋x

∴上式=－[(lg(1－x)＋lg(1＋x)]=－·lg(1－x2)

由0＜x＜1，得，lg(1－x2)＜0，∴－·lg(1－x2)＞0，

∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法二：作商法

=|log(1－x)(1＋x)|

∵0＜x＜1，∴0＜1－x＜1＋x，∴|log(1－x)(1＋x)|=－log(1－x)(1＋x)=log(1－x)

由0＜x＜1，∴1＋x＞1，0＜1－x2＜1

∴0＜(1－x)(1＋x)＜1，∴＞1－x＞0

∴0＜log(1－x) ＜log(1－x)(1－x)=1

∴|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法三：平方后比較大小

∵loga2(1－x)－loga2(1＋x)=[loga(1－x)＋loga(1＋x)][loga(1－x)－loga(1＋x)]

=loga(1－x2)·loga=·lg(1－x2)·lg

∵0＜x＜1，∴0＜1－x2＜1，0＜＜1

∴l(xiāng)g(1－x2)＜0，lg＜0

∴l(xiāng)oga2(1－x)＞loga2(1＋x)，即|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|

解法四：分類討論去掉絕對(duì)值

當(dāng)a＞1時(shí)，|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=－loga(1－x)－loga(1＋x)=－loga(1－x2)

∵0＜1－x＜1＜1＋x，∴0＜1－x2＜1

∴l(xiāng)oga(1－x2)＜0，∴－loga(1－x2)＞0

當(dāng)0＜a＜1時(shí)，由0＜x＜1，則有l(wèi)oga(1－x)＞0，loga(1＋x)＜0

∴|loga(1－x)|－|loga(1＋x)|=|loga(1－x)＋loga(1＋x)|=loga(1－x2)＞0

∴當(dāng)a＞0且a≠1時(shí)，總有|loga(1－x)|＞|loga(1＋x)|