Question

橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，P為橢圓上一點且∠F₁PF₂=

π

2

，PF₁交y軸于點Q，若S △OQF1：S 四邊形PQOF2=1：2，則離心率e=（　　）

• A、

  1

  2

• B、2-

  3

• C、

  3

  -1
• D、

  5

  -

  3

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：首先，根據(jù)三角形的關系和焦半徑公式進行處理，然后，借助于三角形之間的關系進行求解．

解答： 解：設點P（x₀，y₀），（不妨設點P位于第一象限），
由焦點半徑公式，
得：|PF₁|=a+ex₀，|PF₂|=a-ex₀
∵∠F₁PF₂=

π

2

，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²
∴（a+ex₀）²+（a-ex₀）²=4c²
∴x₀=

2c2-a2

e

，
將它代入橢圓的標準方程，得
y₀=

b2

c

，
∴P（

2c2-a2

e

，

b2

c

）
∵S △OQF1：S 四邊形PQOF2=1：2，
∴S △OQF1=

1

3

S△F₁PF₂，
∴連接QF₂，
∴△OQF₂≌△QF₂P
∴F₂P=c，
∴F₁P=2a-c，∴|F₁P|²+|F₂P|²=|F₁F₂|²，
∴（2a-c）²+c²=4c²，
∴c²-2ac-2a²=0，
∴e^2₊2e-2=0，
∴e=

3

-1，e=-1-

3

（舍去），
∴e=

3

-1，
故選：C．

點評：利用橢圓的幾何性質(zhì)可以求離心率時，要熟練掌握將橢圓中的某些線段長用a，b，c表示出來，例如焦點與各頂點所連線段的長，過焦點與長軸垂直的弦長等，這將有利于提高解題能力．