Question

5．南宋數(shù)學家楊輝研究了垛積與各類多面體體積的聯(lián)系，由多面體體積公式導出相應的垛積術公式．例如方亭（正四梭臺）體積為V=$\frac{h}{3}$（a²+b²+ab）其中a為上底邊長，b為下底邊長，h為高．楊輝利用沈括隙積術的基礎上想到：若由大小相等的圓球垛成類似于正四棱臺的方垛，上底由a×a個球組成，以下各層的長、寬依次各增加一個球，共有n層，最下層（即下底）由b×b個球組成，楊輝給出求方垛中物體總數(shù)的公式如下：S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）．根據(jù)以上材料，我們可得1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 由題意，在S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）中，令a=1，b=n，代入即可求出對應的結果．

解答 解：由題意，在S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$）中，
令a=1，b=n，
則S=$\frac{n}{3}$（1²+n²+1•n+$\frac{n-1}{2}$）
=$\frac{n}{6}$（n+1）（2n+1）
=1²+2²+…+n²．
故答案為：$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

點評 本題考查了類比推理的應用問題，是基礎題目．