Question

13．如題圖，橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，過F₂的直線交橢圓于P，Q兩點，且PQ⊥PF₁
（Ⅰ）若|PF₁|=2+$\sqrt{2}，|{P{F_2}}$|=2-$\sqrt{2}$，求橢圓的標準方程；
（Ⅱ）若|PF₁|=|PQ|，求橢圓的離心率e．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由橢圓的定義，2a=|PF₁|+|PF₂|，求出a，再根據(jù)2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，求出c，進而求出橢圓的標準方程；
（Ⅱ）由橢圓的定義和勾股定理，得|QF₁|=$\sqrt{2}$|PF₁|=4a-2|PF₁|，解得|PF₁|=2（2-$\sqrt{2}$）a，從而|PF₂|=2a-|PF₁|=2（$\sqrt{2}$-1）a，再一次根據(jù)勾股定理可求出離心率．

解答 解：（Ⅰ）由橢圓的定義，2a=|PF₁|+|PF₂|=2+$\sqrt{2}$+2-$\sqrt{2}$=4，故a=2，
設(shè)橢圓的半焦距為c，由已知PF₂⊥PF₁，因此2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$=2$\sqrt{3}$，即c=$\sqrt{3}$，從而b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=1，
故所求橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）連接F₁Q，由橢圓的定義，|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a，
從而由|PF₁|=|PQ|=|PF₂|+|QF₂|，
有|QF₁|=4a-2|PF₁|，
又由PQ⊥PF₁，|PF₁|=|PQ|，知|QF₁|=$\sqrt{2}$|PF₁|=4a-2|PF₁|，解得|PF₁|=2（2-$\sqrt{2}$）a，從而|PF₂|=2a-|PF₁|=2（$\sqrt{2}$-1）a，
由PF₂⊥PF₁，知2c=|F₁F₂|=$\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}$，因此e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{|P{F}_{1}{|}^{2}+|P{F}_{2}{|}^{2}}}{2a}$=$\sqrt{（2-\sqrt{2}）^{2}+（\sqrt{2}-1）^{2}}$=$\sqrt{9-6\sqrt{2}}$=$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

點評 本題考查了橢圓的定義2a=|PF₁|+|PF₂|，橢圓的標準方程，直角三角形的勾股定理，屬于中檔題．