Question

12．已知函數f（x）=xlnx
（Ⅰ）討論函數g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$（k∈R）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）求證：除切點（e，e）之外，函數f（x）的圖象在直線h（x）=2x-e的上方．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求導數，分類討論，利用導數的正負，討論函數g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$（k∈R）的單調區(qū)間；
（Ⅱ）令F（x）=xlnx-2x+e，求導數，確定其單調性，即可證明結論．

解答 （Ⅰ）解：g（x）=$\frac{f（x）+k}{x}$=lnx+$\frac{k}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{x-k}{{x}^{2}}$，
k≤0時，g′（x）＞0，函數單調遞增，單調遞增區(qū)間為（0，+∞）；
k＞0時，g′（x）＞0，x＞k，函數單調遞增，單調遞增區(qū)間為（k，+∞）；
g′（x）＜0，0＜x＜k，函數單調遞減，單調遞減區(qū)間為（0，k）；
（Ⅱ）證明：令F（x）=xlnx-2x+e，
∴F′（x）=lnx-1，
∴（0，e）上，F′（x）＜0，函數F（x）單調遞減，（e，+∞）上，F′（x）＞0，函數F（x）單調遞增
∴F（x）≥F（e）=0
又f′（e）=lne+1=2，f（e）=e，
∴函數f（x）=xlnx在點（e，f（e））處的切線方程為y-e=2（x-e），即2x-y-e=0．
∴除切點（e，e）之外，函數f（x）的圖象在直線h（x）=2x-e的上方．

點評 本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性與最值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．