Question

【題目】設a，b，c∈R，證明：a2+b2+c2≥ab+ac+bc．

Answer 1

【答案】證明：方法一、由a2+b2≥2ab，
a2+c2≥2acb2+c2≥2bc，
相加可得：2a2+2b2+2c2≥2ab+2ac+2bc，
所以a2+b2+c2≥ab+ac+bc（當且僅當a=b=c取得等號）；
方法二、由a2+b2+c2﹣ab﹣ac﹣bc= （2a2+2b2+2c2﹣2ab﹣2ac﹣2bc）
= [（a﹣b）2+（a﹣c）2+（b﹣c）2]≥0，
則a2+b2+c2≥ab+ac+bc（當且僅當a=b=c取得等號）．
【解析】方法一、運用重要不等式a2+b2≥2ab，累加即可得證；
方法二、運用作差比較法，由完全平方式非負，即可得證．
【考點精析】關于本題考查的不等式的證明，需要了解不等式證明的幾種常用方法:常用方法有：比較法（作差，作商法）、綜合法、分析法；其它方法有：換元法、反證法、放縮法、構造法，函數單調性法，數學歸納法等才能得出正確答案．