Question

6．已知函數(shù)$y=\frac{1}{3}{x^3}+b{x^2}+（b+2）x+3$在R上單調(diào)遞增，則b的取值范圍為（　　）

• A． [0，1]
• B． [1，2]
• C． [-1，2]
• D． [1，+∞]

Answer 1

分析 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為f′x）≥0恒成立，即可得到結(jié)論．

解答 解：∵函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（b+2）x+3，
∴f′（x）=x²+2bx+b+2，
∵函數(shù)y=$\frac{1}{3}$x³+bx²+（b+2）x+3在R上是增函數(shù)，
∴f′（x）=x²+2bx+b+2≥0恒成立，
∴判別式△=4b²-4（b+2）≤0，
∴b²-b-2≤0，
即-1≤b≤2，
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，將函數(shù)單調(diào)性轉(zhuǎn)化為f′x）≥0恒成立是解決本題的關(guān)鍵．