Question

已知：a＞0，函數(shù)f(x)＝x³－ax在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)．

(1)求實數(shù)a的取值范圍．

(2)設(shè)x₀≥1，f(x₀)≥1且f[f(x₀)]＝x₀，求證：f(x₀)＝x₀．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)任取x1，x2∈[1，＋∞)，且x1＜x2則 　　f(x2)－f(x1)＝(－ax2)－(－ax1) 　�。�(x2－x1)(＋x1x2＋－a)． 　　因為x2－x1＞0，1≤x1≤x2，所以＋x1x2＋＞3． 　　因為f(x)在[1，＋∞)上是單調(diào)函數(shù)，所以＋x1x2＋－a恒為正數(shù)．所以a≤3，此時f(x2)＞f(x1)．所以f(x)在[1，＋∞)上為增函數(shù)，而a＞0故a∈(0，3] 　　(2)用反證法： 　　假設(shè)f(x0)≠x0．因f(x)在[1，＋∞)上單調(diào)遞增，所以 　　當(dāng)f(x0)＞x0時f[f(x0)]＞f(x0)于是f[f(x0)]＞x0，于是f[f(x0)]＞x0，這與f[f(x0)]＝x0矛盾． 　　同理，若f(x0)＜x0，則f[f(x0)]＜f(x0)＜x0，故f[f(x0)]＜x0，與已知矛盾． 　　綜上所述，f(x0)＝x0．