Question

已知?jiǎng)訄AP與圓M：(x+

2 6

3

)2+y2=16相切，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)N(

2 6

3

，0)．
（1）試求動(dòng)圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓D：（x-t）²+y²=t²（t＞0），若圓D與曲線C交于關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)A、B（點(diǎn)A的縱坐標(biāo)大于0），且

OA

•

OB

=0，請(qǐng)求出實(shí)數(shù)t的值；
（3）在（2）的條件下，點(diǎn)D是圓D的圓心，E、F是圓D上的兩動(dòng)點(diǎn)，滿足2

OD

=

OE

+

OF

，點(diǎn)T是曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，試求

TE

•

TF

的最小值．

Answer 1

分析：（1）先由點(diǎn)N在圓M內(nèi)，得圓M，P相內(nèi)切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，可得動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓；即可求出動(dòng)圓的圓心P的軌跡C的方程；
（2）：

OA

•

OB

=0可得OA⊥OB，再由對(duì)稱(chēng)性知，∠AOD=∠BOD=45°，可以求得直線OA的方程為y=x，與橢圓方程聯(lián)立可以求得點(diǎn)A的坐標(biāo)；再利用點(diǎn)A在圓D代入即可求出實(shí)數(shù)t的值；
（3）先由2

OD

=

OE

+

OF

知，D是線段EF的中點(diǎn)，設(shè)出各點(diǎn)坐標(biāo)，代入

TE

•

TF

整理為一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)在固定區(qū)間上的最值求法即可求

TE

•

TF

的最小值．

解答：解：（1）設(shè)動(dòng)圓P的圓心坐標(biāo)為P（x，y），
則由題意知：點(diǎn)N在圓M內(nèi)，故圓M，P相內(nèi)切，
∴|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，
所以，動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓；
所以，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為，

x2

4

+

y2

4 3

=1．
（2）：

OA

•

OB

=0∴OA⊥OB，由對(duì)稱(chēng)性知，∠AOD=∠BOD=45°，
所以，直線OA的斜率k_OA=1，直線OA的方程為y=x，
由

y=x x2 4 + 3y2 4 =1

，得A（1，1）；
又點(diǎn)A在圓D：（x-t）²+y²=t²（t＞0）上，
∴（1-t）²+1=t²，解得t=1．
（3）：由2

OD

=

OE

+

OF

知，D是線段EF的中點(diǎn)，
不妨設(shè)E（x₁，y₁），由（2）知，D（1，0）∴F（2-x₁，-y₁）
設(shè)T（x₀，y₀），
則

TE

•

TF

=（x₁-x₀，y₁-y₀）•（2-x₁-x₀，-y₁-y₀）
=（x₁-x₀）（2-x₁-x₀）+（y₁-y₀）（-y₁-y₀）
=2（x₁-x₀）-（x₁²-x₀²）+（y₀²-y₁²）
=-x₁²+2x₁-y₁²+x₀²+y₀²-2x₀
=-[（x₁-1）²+y₁²]+1+x₀²+y₀²-2x₀
=x₀²-2x₀+

4

3

（1-

x02

4

）
=

2

3

(x0-

3

2

)2-

1

6

；
由-2≤x₀≤2知，當(dāng)x₀=

3

2

時(shí)，

TE

•

TF

的最小值為-

1

6

；

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查向量在幾何中的應(yīng)用以及軌跡方程．第一問(wèn)中的關(guān)鍵在于分析出圓M，P相內(nèi)切；有|PM|=4-|PN|⇒|PM|+|PN|=4|MN|=

4 6

3

＜4，進(jìn)而得到動(dòng)圓圓心P的軌跡是以M、N為焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4的橢圓．