Question

18．設S_n是數列{a_n}（n∈N⁺）的前n項和，n≥2時點（a_n-1，2a_n）在直線y=2x+1上，且{a_n}的首項a₁是二次函數y=x²-2x+3的最小值，則S₉的值為（　�。�

• A． 6
• B． 7
• C． 36
• D． 32

Answer 1

分析 先根據數列的函數特征以及二次函數的最值，化簡整理得到{a_n}是以為2首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數列，再根據前n項公式求出即可．

解答 解∵點（a_n-1，2a_n）在直線y=2x+1上，
∴2a_n=2a_n-1+1，
∴a_n-a_n-1=$\frac{1}{2}$，
∵二次函數y=x²-2x+3=（x-1）²+2，
∴a₁=2，
∴{a_n}是以為2首項，以$\frac{1}{2}$為公差的等差數列，
∴a_n=2+$\frac{1}{2}$（n-1）=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$
當n=1時，a₁=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$=2成立，
∴a_n=$\frac{1}{2}$n+$\frac{3}{2}$
∴S₉=9a₁+$\frac{9（9-1）d}{2}$=9×2+$\frac{9×8×\frac{1}{2}}{2}$=36
故選：C

點評 本題考查了等差數列的性質以及等差數列的前n項和公式，以及數列的函數特征以及二次函數的最值問題，屬于中檔題．