Question

已知橢圓：的離心率等于，點在橢圓上.
(I)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設橢圓的左右頂點分別為,,過點的動直線與橢圓相交于,兩點，是否存在定直線：，使得與的交點總在直線上？若存在，求出一個滿足條件的值；若不存在，說明理由。

Answer 1

(I)   
(Ⅱ) 存在定直線:,使得與的交點總在直線上,的值是.

試題分析：（1）由，
又點在橢圓上，，所以橢圓方程：；    
（2）當垂直軸時，，則的方程是：，
的方程是：，交點的坐標是：，猜測:存在常數(shù),
即直線的方程是:使得與的交點總在直線上,
證明：設的方程是，點，
將的方程代入橢圓的方程得到：，
即：，
從而：，      
因為：，共線，所以：，，
又，要證明共線，即要證明，    
即證明：，即：，
即：因為：成立，
所以點在直線上.綜上:存在定直線:,使得與的交點總在直線上,的值是.
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查滿足條件的方程是否存在，綜合性強，難度大，有一定的探索性，解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用