Question

求1999¹¹除以8的余數．

Answer 1

分析：先將冪利用二項式表示，使其底數用8的倍數表示，利用二項式定理展開得到余數．

解答：解：1999¹¹=（2000-1）¹¹
=C₁₁⁰•2000¹¹-C₁₁¹•2000¹⁰+C₁₁²•2000⁹-┅+C₁₁¹⁰•2000-1
=2000（2000¹⁰-C₁₁¹2000⁹+C₁₁²2000⁸-┅+C₁₁¹⁰）-1
=2000k+7-8
=8（250k-1）+7（k∈Z）
由上面展開式可知1999¹¹除以8的余數是7．

點評：本題考查利用二項式定理的展開式解決整除性問題．關鍵是將冪形式寫成二項式形式．