Question

14．設兩向量e₁、e₂滿足|${\overrightarrow{e}}_{1}$|=2，|${\overrightarrow{e}}_{2}$|=1，${\overrightarrow{e}}_{1}$、${\overrightarrow{e}}_{2}$的夾角為60°，若向量2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$與向量${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$的夾角為[0，$\frac{π}{2}$），求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 兩向量e₁、e₂滿足|${\overrightarrow{e}}_{1}$|=2，|${\overrightarrow{e}}_{2}$|=1，${\overrightarrow{e}}_{1}$、${\overrightarrow{e}}_{2}$的夾角為60°，不妨設$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$（1，\sqrt{3}）$，可得2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$，${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$，由于向量2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$與向量${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$的夾角為[0，$\frac{π}{2}$），可得（2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$）（${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$）=（2t+7）（t+1）+21t＞0，解出即可得出．

解答 解：∵兩向量e₁、e₂滿足|${\overrightarrow{e}}_{1}$|=2，|${\overrightarrow{e}}_{2}$|=1，${\overrightarrow{e}}_{1}$、${\overrightarrow{e}}_{2}$的夾角為60°，
不妨設$\overrightarrow{{e}_{2}}$=（1，0），$\overrightarrow{{e}_{1}}$=$（1，\sqrt{3}）$，
則2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$=（2t+7，7$\sqrt{3}$），${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$=$（t+1，t\sqrt{3}）$．
∵向量2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$與向量${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$的夾角為[0，$\frac{π}{2}$），
∴向量（2t${\overrightarrow{e}}_{1}$+7${\overrightarrow{e}}_{2}$）（${\overrightarrow{e}}_{1}$+t${\overrightarrow{e}}_{2}$）=（2t+7）（t+1）+21t＞0，
化為2t²+30t+7＞0，
解得t＞$\frac{-15+\sqrt{211}}{2}$或t＜$\frac{-15-\sqrt{211}}{2}$．
∴實數(shù)t的取值范圍是t＞$\frac{-15+\sqrt{211}}{2}$或t＜$\frac{-15-\sqrt{211}}{2}$．

點評 本題考查了向量的坐標運算、向量夾角公式、數(shù)量積運算性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．