Question

已知O為坐標原點，P₁、P₂是雙曲線

x2

9

-

y2

4

=1上的點．P是線段P₁P₂的中點，直線OP、P₁P₂的斜率分別為k₁、k₂，若2≤k₁≤4，則k₂的取值范圍是（　　）

• A、[

  1

  3

  ，

  2

  3

  ]
• B、[

  1

  9

  ，

  2

  9

  ]
• C、[

  1

  3

  ，

  4

  9

  ]
• D、[

  4

  9

  ，

  2

  3

  ]

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設點，代入雙曲線方程，利用點差法，結合線段P₁P₂的中點為P，2≤k₁≤4，即可k₂的取值范圍．

解答： 解：設P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），P（x，y），則x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y
∵4x₁²-9y₁²=36，4x₂²-9y₂²=36
兩式相減可得：4（x₁-x₂）×2x-9（y₁-y₂）×2y=0
∴

y1-y2

x1-x2

•

y

x

=

4

9

，
∵直線OP的斜率為k₁=

y

x

（k₁≠0），直線P₁P₂的斜率為k₂=

y1-y2

x1-x2

，
∴k₁k₂=

4

9

，
∵2≤k₁≤4，
∴

1

9

≤k2≤

2

9

．
故選：B．

點評：本題考查雙曲線方程的性質和應用，考查點差法的運用，考查學生的計算能力，屬于中檔題．