Question

（本小題滿分13分）

設(shè)是數(shù)列（）的前項(xiàng)和，，且，，．

（I）證明：數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列；

（II）試找出一個(gè)奇數(shù)，使以18為首項(xiàng)，7為公比的等比數(shù)列（）中的所有項(xiàng)都是數(shù)列中的項(xiàng)，并指出是數(shù)列中的第幾項(xiàng)．

 

Answer 1

【答案】

（I）數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列

（II）若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，是數(shù)列中的第項(xiàng)．

【解析】解：（I）當(dāng)時(shí)，由已知得．

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012051810592021872135/SYS201205181100247968377318_DA.files/image014.png">，所以． …………………………①

于是． …………………………………………………②

由②－①得：．……………………………………………③

于是．……………………………………………………④

由④－③得：．…………………………………………………⑤

即數(shù)列（）是常數(shù)數(shù)列．

（II）由①有，所以．

由③有，所以，

而⑤表明：數(shù)列和分別是以，為首項(xiàng)，6為公差的等差數(shù)列．

所以，，．

由題設(shè)知，．當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，為奇數(shù)，而為偶數(shù)，所以不是數(shù)列中的項(xiàng)，只可能是數(shù)列中的項(xiàng)．

若是數(shù)列中的第項(xiàng)，由得，取，得，此時(shí)，由，得，，從而是數(shù)列中的第項(xiàng)．

（注：考生取滿足，的任一奇數(shù)，說(shuō)明是數(shù)列中的第項(xiàng)即可）