Question

4．若函數$f（x）=sinωx+acosωx（ω＞0）的圖象關于點M（{\frac{π}{3}，0}）對稱$，且在$x=\frac{π}{6}$處函數有最小值，則a+ω在[0，10]上的一個可能值是3．

Answer 1

分析 由函數解析式結合對稱性可得ω=-9-6k，φ=kπ+3π，k∈Z，進一步求得a，可得a+ω=-9-6k，k∈Z，則答案可求．

解答 解：∵函數f（x）=sinωx+acosωx=$\sqrt{1+{a}^{2}}（\frac{1}{\sqrt{1+{a}^{2}}}sinωx+\frac{a}{\sqrt{1+{a}^{2}}}cosωx）$=$\sqrt{1+{a}^{2}}sin（ωx+φ）$（tanφ=a）的圖象關于點M（$\frac{π}{3}$，0）對稱，
∴$\frac{π}{3}ω+$φ=kπ，k∈Z，①
又在$x=\frac{π}{6}$處函數有最小值，則$\frac{π}{6}ω+$φ=$\frac{3π}{2}+2kπ$，k∈Z，②
聯(lián)立①②得，ω=-9-6k，φ=kπ+3π，k∈Z．
∴a=tan（kπ+3π）=0，
∴a+ω=-9-6k，k∈Z．
又a+ω∈[0，10]，∴當k=-2時，a+ω=3．
故答案為：3．

點評 本題主要考查正余弦函數的對稱點，對稱軸與周期間的關系，即相鄰的對稱軸及對稱點之間相差半個周期等，是中檔題．