Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n=2ⁿ⁺¹-2，數(shù)列{b_n}是首項(xiàng)為a₁，公差為d（d≠0）的等差數(shù)列，且b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}與{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=

2

(n+1)bn

(n∈N*)，試求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，并證明不等式

1

2

≤T_n＜1成立．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；b₁=a₁=2，設(shè)公差為d，由b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列，解得d=0（舍）或d=2，由此能求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）c_n=

2

(n+1)bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此利用裂項(xiàng)求和法能求出數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和，并能證明

1

2

≤T_n＜1．

解答： （本題滿(mǎn)分13分）
解：（Ⅰ）當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ⁺¹-2ⁿ=2ⁿ，
又a1=S1=22-2=2，滿(mǎn)足上式，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為an=2n，
b₁=a₁=2，設(shè)公差為d，
則由b₁，b₃，b₉成等比數(shù)列，
得（2+2d）²=2（2+8d），解得d=0（舍）或d=2，
∴數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式為b_n=2n．…．（6分）
（Ⅱ）c_n=

2

(n+1)bn

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和：
T_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

＜1..…．（11分）
又∵T_n+1-T_n=

1

(n+1)(n+2)

＞0，
∴Tn＞Tn-1＞…＞T1=

1

2

，
∴

1

2

≤T_n＜1．…．（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，考查不等式的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意裂項(xiàng)求和法的合理運(yùn)用．