Question

已知函數(shù)f(x)= -ax(a∈R,e為自然對數(shù)的底數(shù)).

(1)討論函數(shù)f(x)的單調性；

(2)若a=1，函數(shù)g(x)=(x-m)f(x)-+x2+x在區(qū)間（0，+）上為增函數(shù)，求整數(shù)m 的最大值.

 

Answer 1

(1)所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù);(2)最大值為1

【解析】

試題分析：(1)利用函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；(2)解決類似的問題時，注意區(qū)分函數(shù)的最值和極值.求函數(shù)的最值時，要先求函數(shù)在區(qū)間內使的點，再計算函數(shù)在區(qū)間內所有使的點和區(qū)間端點處的函數(shù)值，最后比較即得.(3)第二問關鍵是分離參數(shù)，把所求問題轉化為求函數(shù)的最小值問題.(4)若可導函數(shù)在指定的區(qū)間上單調遞增（減），求參數(shù)問題，可轉化為恒成立，從而構建不等式，要注意“=”是否可以取到.

試題解析： 【解析】
（Ⅰ）定義域為，，

當時，，所以在上為增函數(shù)； 2分

當時，由得，且當時，，

當時，

所以在為減函數(shù)，在為增函數(shù)． 6分

（Ⅱ）當時，，若在區(qū)間上為增函數(shù)，

則在恒成立，

即在恒成立 8分

令，； ，；

令，可知，，

又當時，

所以函數(shù)在只有一個零點，設為，即，

且； 9分

由上可知當時，即；當時，即，

所以，，有最小值， 10分

把代入上式可得，又因為，所以，

又恒成立，所以，又因為為整數(shù)，

所以，所以整數(shù)的最大值為1． 12分

考點：（1）利用導數(shù)求函數(shù)的單調性；（2）利用導數(shù)求函數(shù)的最值問題.