Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x-2）e^x和g（x）=kx³-x-2．
（1）若函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調，求實數(shù)k的取值范圍；
（2）當x∈[1，+∞）時，不等式f（x）≥g（x）+x+2恒成立，求實數(shù)k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出g'（x）=3kx²-1，通過①當k≤0時，②當k＞0時，函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調，判斷導數(shù)的符號，得到函數(shù)有極值，即可求k的取值范圍；
（2）由已知k≤$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，令h（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，判斷函數(shù)的單調性，以及函數(shù)的最值，即可求出k的最大值．

解答 解：（1）g'（x）=3kx²-1…（1分）
①當k≤0時，g'（x）=3kx²-1≤0，所以g（x）在（1，2）單調遞減，不滿足題意；…（2分）
②當k＞0時，g（x）在（0，$\sqrt{\frac{1}{3k}}$）上單調遞減，在（$\sqrt{\frac{1}{3k}}$，+∞）上單調遞增，
因為函數(shù)g（x）在區(qū)間（1，2）不單調，所以1＜$\sqrt{\frac{1}{3k}}$＜2，解得$\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$…（4分）
綜上k的取值范圍是$\frac{1}{12}$＜k＜$\frac{1}{3}$．…（5分）
（2）由已知k≤$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，
令h（x）=$\frac{（x-2）{e}^{x}}{{x}^{3}}$，則h′（x）=$\frac{（{x}^{2}-4x+6）{e}^{x}}{{x}^{4}}$＞0，
∴h（x）在x∈[1，+∞）單調遞增，
∴h（x）_min=h（1）=-e
∴k≤-e，
∴k的最大值為-e．．…（12分）

點評 本題考查函數(shù)的導數(shù)的綜合應用，構造法以及轉化思想的應用，同時考查分類討論思想的應用，考查分析問題解決問題的能力．