Question

（2013•崇明縣二模）如圖，在△ABC中，∠C=45°，D為BC中點，BC=2．記銳角∠ADB=α．且滿足cos2α=-

7

25

．
（1）求cosα；
（2）求BC邊上高的值．

Answer 1

分析：（1）由二倍角公式cos2α=2cos²α-1，可求cosα
（2）方法一、由sinα=

1-cos2α

可求sinα，而∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，利用sin∠CAD=sin（α-

π

4

）=sinαcos

π

4

-sin

π

4

cosα，代入可求sin∠CAD，最后再
由正弦定理

CD

sin∠CAD

=

AD

sin∠C

，可求AD，從而可由h=ADsin∠ADB求解
方法二、作BC 邊上的高為AH，在直角△ADH中，由（1）可得cosα=

BD

AD

，設出AD，則可表示DH，AH，結(jié)合△AHC為等腰直角三角形，可得CD+DH=AH，代入可求

解答：解：（1）∵cos2α=2cos²α-1=-

7

25

，
∴cos2α=

9

25

，
∵α∈(0，

1

2

π)，
∴cosα=

3

5

．-----------（5分）
（2）方法一、由（1）得sinα=

1-cos2α

=

4

5

，
∵∠CAD=∠ADB-∠C=α-45°，
∴sin∠CAD=sin（α-

π

4

）=sinαcos

π

4

-sin

π

4

cosα
=

4

5

×

2

2

-

3

5

×

2

2

=

2

10

，-----------------（9分）
在△ACD中，由正弦定理得：

CD

sin∠CAD

=

AD

sin∠C

，
∴AD=

CDsinC

sin∠CAD

=

1× 2 2

2 10

=5，-----------------（11分）
則高h=ADsin∠ADB=5×

4

5

=4．-----------------（12分）
方法二、如圖，作BC 邊上的高為AH 
在直角△△ADH中，由（1）可得cosα=

BD

AD

=

3

5

，
則不妨設AD=5m則DH=3m，AH=4m-----------------（8分）
注意到C=45°，則△AHC為等腰直角三角形，所以CD+DH=AH，
則1+3m=4m-----------------（10分）
所以m=1，即AH=4-----------------（12分）

點評：本題主要考查了同角平方關系、和差角公式及正弦定理在求解三角形中的應用，解題的關鍵是熟練應用基本公式