Question

已知雙曲線=1(m＞0,n＞0)的頂點(diǎn)為A₁、A₂，與y軸平行的直線l交雙曲線于點(diǎn)P、Q.

(1)求直線A₁P與A₂Q交點(diǎn)M的軌跡方程；

(2)當(dāng)m≠n時(shí)，求所得圓錐曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程和離心率.

Answer 1

(1) =1,  M的軌跡方程是 (2) (ⅰ)當(dāng)m＞n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=；

(ⅱ)當(dāng)m＜n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.

解析:

(1)設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(x₁,y₁)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(x₁,－y₁),又有A₁(－m,0),A₂(m,0),則A₁P的方程為: y=                   ①

A₂Q的方程為: y=－                                ②

①×②得: y²=－                                 ③

又因點(diǎn)P在雙曲線上，故

代入③并整理得=1,  此即為M的軌跡方程.

(2)當(dāng)m≠n時(shí)，M的軌跡方程是橢圓.

(ⅰ)當(dāng)m＞n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(±,0)，準(zhǔn)線方程為x=±,離心率e=；

(ⅱ)當(dāng)m＜n時(shí)，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0,±),準(zhǔn)線方程為y=±,離心率e=.