Question

14．小五、小一、小節(jié)、小快、小樂五位同學(xué)站成一排，若小一不出現(xiàn)在首位和末位，小五、小節(jié)、小樂中有且僅有兩人相鄰，求能滿足條件的不同排法共有多少種？

Answer 1

分析 根據(jù)題意，按小一的位置分三類：①當(dāng)小一出現(xiàn)在第2位時(shí)，則第1位必為小五、小節(jié)、小樂中的一位同學(xué)，②當(dāng)小一出現(xiàn)在第3位時(shí)，則第1位、第2位為小五、小節(jié)、小樂中的兩位同學(xué)或第4位、第5位為小五、小節(jié)、小樂中的兩位同學(xué)，③當(dāng)小一出現(xiàn)在第4位時(shí)，則第5位必為小五、小節(jié)、小樂中的一位同學(xué)，分別求出每一種情況下的排法數(shù)目，由分類計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案．

解答 解：根據(jù)題意，按小一的位置分三類：
①當(dāng)小一出現(xiàn)在第2位時(shí)，
則第1位必為小五、小節(jié)、小樂中的一位同學(xué)，在三人中任取1人，放在第1位，
將剩余2人看成一個(gè)整體，與小快全排列，
所以滿足條件的排法數(shù)目有$C_3^1A_2^2A_2^2=12$種；
②當(dāng)小一出現(xiàn)在第3位時(shí)，
若第1位、第2位為小五、小節(jié)、小樂中的兩位同學(xué)，在三人中取出2個(gè)，安排在第1位、第2位，再將剩下的1人全小快全排列，有A₃³A₂²種排法；
若第4位、第5位為小五、小節(jié)、小樂中的兩位同學(xué)，同理可得此時(shí)有A₃³A₂²種排法；
所以滿足條件的排法數(shù)目有$2A_3^2A_2^2=24$種；
③當(dāng)小一出現(xiàn)在第4位時(shí)，則第5位必為小五、小節(jié)、小樂中的一位同學(xué)，
所以滿足條件的排法數(shù)目有$C_3^1A_2^2A_2^2=12$種；
綜上，共有12+24+12=48種排法．

點(diǎn)評 本題考查排列、組合的應(yīng)用，關(guān)鍵是依據(jù)題意，按照小一的位置進(jìn)行分類討論．