Question

（本題滿分18分，第（1）小題6分，第（2）小題6分，第（3）小題6分）
若數(shù)列滿足：是常數(shù)），則稱數(shù)列為二階線性遞推數(shù)列，且定義方程為數(shù)列的特征方程，方程的根稱為特征根； 數(shù)列的通項(xiàng)公式均可用特征根求得：
①若方程有兩相異實(shí)根，則數(shù)列通項(xiàng)可以寫成，（其中是待定常數(shù)）；
②若方程有兩相同實(shí)根，則數(shù)列通項(xiàng)可以寫成，（其中是待定常數(shù)）；
再利用可求得，進(jìn)而求得．
根據(jù)上述結(jié)論求下列問題：
（1）當(dāng)，（）時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（2）當(dāng)，（）時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（3）當(dāng)，（）時(shí)，記，若能被數(shù)整除，求所有滿足條件的正整數(shù)的取值集合．

Answer 1

(Ⅰ)   (Ⅱ)   （Ⅲ）

（1）由可知特征方程為：
， …………………3分
所以 設(shè)  ，由得到，
所以  ； …………………6分
（2）由可以得到
設(shè)，則上述等式可以化為：…………………8分
，所以對(duì)應(yīng)的特征方程為：
，…………………10分
所以令  ，由可以得出
所以…………………11分
即 …………………12分
（3）同樣可以得到通項(xiàng)公式………14分
所以
 



即    …………………14分



即  ，…………………16分
因此除以的余數(shù)，完全由除以的余數(shù)確定，
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823133712609251.gif" style="vertical-align:middle;" /> 所以 ，
，，
，，
，，
，，
由以上計(jì)算及可知，數(shù)列各項(xiàng)除以的余數(shù)依次是：
它是一個(gè)以為周期的數(shù)列，從而除以的余數(shù)等價(jià)于除以的余數(shù)，所以，，
即所求集合為：…………………18分