Question

在數列與中，，數列的前項和滿足,為與的等比中項，.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）求數列與的通項公式；

（Ⅲ）設. 證明：.

Answer 1

（Ⅰ）解：由題設有，，解得．由題設又有，，解得．

（Ⅱ）解法一：由題設，，，及，，進一步可得，，，，

猜想，，．

先證，．

當時，，等式成立．當時用數學歸納法證明如下：

（1）當時，，等式成立．

（2）假設時等式成立，即，．

由題設，　　

①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，從而

．

這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何的成立．

綜上所述，等式對任何的都成立

再用數學歸納法證明，．

（1）當時，，等式成立．

（2）假設當時等式成立，即，那么

．

這就是說，當時等式也成立．根據（1）和（2）可知，等式對任何的都成立．

解法二：由題設　　

①的兩邊分別減去②的兩邊，整理得，．所以

，

，

……

，．

將以上各式左右兩端分別相乘，得，

由（Ⅰ）并化簡得，．

上式對也成立．

由題設有，所以，

即，．

令，則，即．

由得，．所以，

即，．

解法三：由題設有，，所以

，

，

……

，．

將以上各式左右兩端分別相乘，

得，化簡得

，．

由（Ⅰ），上式對也成立．所以，．

上式對時也成立．

以下同解法二，可得，．

（Ⅲ）證明：．

當，時，

．

注意到，故

　．

當，時，

當，時，

．

當，時，

．

所以．

從而時，有

總之，當時有，即．