Question

10．設(shè)△ABC的內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a、b、c，向量$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（b，c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，若2sinB+2cosB=$\sqrt{6}$，則角B=（　�。�

• A． $\frac{π}{12}$
• B． $\frac{7π}{12}$
• C． $\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$
• D． $\frac{π}{12}$或$\frac{7π}{12}$

Answer 1

分析 由兩個向量平行的坐標(biāo)表示求出a、b、c的關(guān)系，借助于余弦定理求出角B的取值范圍，最后根據(jù)等式2sinB+2cosB=$\sqrt{6}$求出角B的值．

解答 解：由$\overrightarrow{m}$=（a，b），$\overrightarrow{n}$=（b，c），且$\overrightarrow{m}$∥$\overrightarrow{n}$，得b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-^{2}}{2ac}≥\frac{2ac-ac}{2ac}=\frac{1}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)a=c時取等號，
∵0＜B＜π，∴0＜B≤$\frac{π}{3}$．
由2sinB+2cosB=$\sqrt{6}$得：sin（B+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∵B+$\frac{π}{4}$∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{7π}{12}$]，
∴B+$\frac{π}{4}$=$\frac{π}{3}$，
∴B=$\frac{π}{12}$，
故選：A．

點評 本題考查了平面向量共線的條件，考查了轉(zhuǎn)化思想，解答此題的關(guān)鍵是借助于余弦定理求出角B的范圍，是中等難度問題．