Question

某市為鼓勵企業(yè)發(fā)展“低碳經(jīng)濟”，真正實現(xiàn)“低消耗、高產(chǎn)出”，施行獎懲制度．通過制定評分標準，每年對本市50%的企業(yè)抽查評估，評出優(yōu)秀、良好、合格和不合格四個等次，并根據(jù)等級給予相應的獎懲（如下表）．某企業(yè)投入100萬元改造，由于自身技術原因，能達到以上四個等次的概率分別為

1

2

，

1

3

，

1

8

，

1

24

，且由此增加的產(chǎn)值分別為60萬元、40萬元、20萬元、-5萬元．設該企業(yè)當年因改造而增加利潤為ξ．
（Ⅰ）在抽查評估中，該企業(yè)能被抽到且被評為合格及其以上等次的概率是多少？
（Ⅱ）求ξ的數(shù)學期望．

評價得分	（0，60）	[60，70）	[70，80）	[80，100]
評價等級	不合格	合格	良好	優(yōu)秀
獎懲 （萬元）	-80	30	60	100

Answer 1

分析：（1）由于該企事業(yè)被抽中的概率為50%，該企業(yè)被評為合格時必須抽中優(yōu)秀、良好或合格的產(chǎn)品，而能達到以上三個等次的概率分別為

1

2

，

1

3

，

1

8

，故易得到該企業(yè)能被抽到且被評為合格及其以上等次的概率．
（2）先要根據(jù)題意，分析ξ所有可能取的值，并分析每一種取值的情況，逐一算出其出現(xiàn)的概率，然后列出分布列，代入數(shù)學期望公式即可求解．

解答：解：（Ⅰ）設該企業(yè)能被抽中的概率且評為合格以上等次的概率為P，
則P=(

1

2

+

1

3

+

1

8

)×

1

2

=

23

48

（Ⅱ）依題意，ξ的可能取值為-185，-105，-80，-60，-50，-40，0，60，則P(ξ=60)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，P(ξ=0)=

1

3

×

1

2

=

1

6

，P(ξ=-50)=

1

8

×

1

2

=

1

16

P(ξ=-185)=

1

24

×

1

2

=

1

48

，P(ξ=-40)=

1

2

×

1

2

=

1

4

，P(ξ=-60)=

1

3

×

1

2

=

1

6

，P(ξ=-80)=

1

8

×

1

2

=

1

16

，P(ξ=-105)=

1

24

×

1

2

=

1

48

則其分布列為

∴Eξ=(60-40)×

1

4

+(-60)×

1

6

+(-50-80)×

1

16

+(-185-105)×

1

48

=-

115

6

（萬元）

點評：解決等可能性事件的概率問題，關鍵是要弄清一次試驗的意義以及每個基本事件的含義是解決問題的前提，正確把握各個事件的相互關系是解決問題的關鍵．古典概型要求所有結(jié)果出現(xiàn)的可能性都相等，強調(diào)所有結(jié)果中每一結(jié)果出現(xiàn)的概率都相同．同時（2）中概率、數(shù)學期望的計算也是高考的熱點．對于數(shù)學期望的計算則要熟練掌握運算方法和步驟．