Question

已知函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件f（1﹣x）=f（1+x），且函數g（x）=f（x）﹣x只有一個零點．
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）求實數m，n（m＜n），使得f（x）的定義域為[m，n]時，f（x）的取值范圍是[3m，3n]．

Answer 1

解：（Ⅰ）因為二次函數f（x）=ax2+bx滿足條件f（1﹣x）=f（1+x），
所以函數f（x）圖象的對稱軸是直線x=1．
所以﹣=1，即b=﹣2a．
因為函數g（x）=f（x）﹣x只有一個零點，即ax²﹣（2a+1）x=0有等根．
所以△=（2a+1）²=0．
即a=﹣，b=1．
所以f （x）=﹣x²+x．     
（Ⅱ）①當m＜n＜1時，f （x）在[m，n]上單調遞增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是﹣x²+x=3x的兩根．
解得m=﹣4，n=0；                   
②當m≤1≤n時，3n=，解得n=．不符合題意；  
③當1＜m＜n時，f （x）在[m，n]上單調遞減，
所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即﹣m²+m=3n，﹣n²+n=3m．
相減得﹣（m²﹣n²）+（m﹣n）=3（n﹣m）．
因為m≠n，所以﹣（m+n）+1=﹣3．
所以m+n=8．將n=8﹣m代入﹣m²+m=3n，得﹣m²+m=3（8﹣m）．
但此方程無解．
所以m=﹣4，n=0時，f （x）的定義域和值域分別是[m，n]和[3m，3n]．