Question

（I）求函數(shù)f(x)=log3(1+x)+

3-4x

的定義域；
（2）判斷并證明函數(shù)f（x）=x+

4

x

的奇偶性
（3）證明函數(shù) f（x）=x+

4

x

 在x∈[2，+∞）上是增函數(shù)，并求f（x）在[4，8]上的值域．

Answer 1

分析：（1）由

1+x＞0 3-4x≥0

可求得其定義域；
（2）由奇函數(shù)的定義f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），可判斷f（x）為奇函數(shù)；
（3）利用單調(diào)函數(shù)的定義，設(shè)2＜x₁＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）化積判斷符號即可．

解答：解：（Ⅰ）由

1+x＞0 3-4x≥0

得-1＜x≤

3

4

，
∴求函數(shù)f(x)=log3(1+x)+

3-4x

的定義域?yàn)椋簕  x|-1＜x≤

3

4

}-----（3分）
（2）f（x）=x+

4

x

為奇函數(shù)---------（4分）
證明：∵f（-x）=-x-

4

x

=-（x+

4

x

）=-f（x），
∴f（x）=x+

4

x

為奇函數(shù)．---------（5分）
（3）證明：設(shè)2＜x₁＜x₂，
f（x₁）-f（x₂）=x₁+

4

x1

-x₂-

4

x2

=x₁-x₂-

4(x1-x2)

x1x2

=（x₁-x₂）（1-

4

x1x2

）…（2分）
∵2＜x₁＜x₂，
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞4，即0＜

4

x1x2

＜1．
∴1-

4

x1x2

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）是增函數(shù)．
由（1）知f（x）在[4，8]上是增函數(shù)…（6分）
∴f（x）_max=f（8）=

17

2

，f（x）_min=f（4）=5．
∴f（x）在[4，8]上的值域?yàn)閇5，

17

2

]．（8分）

點(diǎn)評：本題考查奇偶性與單調(diào)性的綜合，著重考查函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的定義及其應(yīng)用，突出轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用，屬于中檔題．