Question

已知f(x)=x³-3x，若m²-4n＞0，m，n∈R，求證：“2|m|+|n|＜4”是“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在區(qū)間(-1，1)內(nèi)有兩個不等的實(shí)根”的充分不必要條件．

Answer 1

解：由f(x)=x³-3x得f′(x)=3(x²-1)，對x∈(-1，1)有f′(x)＜0，故f(x)在(-1，1)上是減函數(shù)，得f(x)∈(-2，2)． 

于是“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在區(qū)間(-1，1)內(nèi)有兩個不等的實(shí)根”等價于“方程g(t)=t²+mt+n=0在區(qū)間(-2，2)內(nèi)有兩個不等的實(shí)根”． 

所以“方程[f(x)]²+mf(x)+n=0在區(qū)間(-1，1)內(nèi)有兩個不等的實(shí)根”等價于

   

下面先證明充分性：由2|m|+|n|＜4得|m|＜4-2＜＜2，

且4＞±2m-n，即g(±2)＞0．

所以充分性成立． 

下面再證不必要性：取m=2,n=,顯然滿足

但是2|m|+|n|＜4不成立，

即得不必要性成立．

綜合以上得命題成立．