Question

如圖所示，A為橢圓＝1(a＞b0)上的一個動點，弦AB、AC分別過焦點F₁、F₂．當(dāng)AC垂直于x軸時，恰好AF₁∶AF₂＝3∶1．

(1)求該橢圓的離心率；

(2)設(shè)，試判斷λ₁＋λ₂是否為定值？若是，則求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)當(dāng)AC垂直于x軸時，AF1∶AF2＝3∶1．由AF1＋AF2＝2a，得AF1＝，AF2＝．在Rt△AF1F2中，＋(2c)2，所以()2＝()2＋(2c)2，由此解得e＝； 　　(2)由e＝，則，－b＝c，焦點坐標(biāo)為F1(－b，0)，F(xiàn)2(b，0)，則橢圓方程為＝1，化簡有x2＋2y2＝2b2． 　　設(shè)A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)， 　�、偃糁本�AC的斜率存在，則直線AC方程為y＝(x－b)代入橢圓方程有(3b2－2bx0)y2＋2by0(x0－b)y－＝0． 　　由韋達定理得：y0y2＝，∴y2＝所以 　　λ2＝，同理可得λ1＝，故λ1＋λ2＝． 　　②若直線AC⊥x軸，x0＝b，λ2＝1，λ1＝＝5，∴λ1＋λ2＝6．綜上所述：λ1＋λ2是定值6． 　　分析：本題在解決過程中要注意充分利用橢圓的定義以及向量與相關(guān)的線段長度間的關(guān)系，從而將問題解決．