Question

已知中心在原點(diǎn)的橢圓C：的一個焦點(diǎn)為，為橢圓C上一點(diǎn)，的面積為．

(1)求橢圓C的方程；

(2)是否存在平行于OM的直線，使得直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，且以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)？若存在，求出直線的方程；若不存在，請說明理由．

 

Answer 1

【答案】

(1)    (2) 直線存在，且所求的直線的方程為或．

【解析】

試題分析：(1)因為橢圓C的一個焦點(diǎn)為，

所以，則橢圓C的方程為，

因為，所以，解得．

故點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1，4)．

因為M(1，4)在橢圓上，所以，得，

解得或（不合題意，舍去），則．

所以橢圓C的方程為．

(2)假設(shè)存在符合題意的直線與橢圓C相交于，兩點(diǎn)，其方程為（因為直線OM的斜率，

由消去，化簡得．

進(jìn)而得到，．

因為直線與橢圓C相交于A，B兩點(diǎn)，

所以，

化簡，得，解得．

因為以線段AB為直徑的圓恰好經(jīng)過原點(diǎn)，

所以，所以．

又，

，

解得．由于，所以符合題意的直線存在，且所求的直線的方程為或．

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．

點(diǎn)評：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的運(yùn)用，確定橢圓方程，正確運(yùn)用韋達(dá)定理是關(guān)鍵．