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如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、、，

我們稱(chēng)為橢圓的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為 橢圓的相似比.

（1）已知橢圓和，

判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）設(shè)短半軸長(zhǎng)為的橢圓與橢圓相似，試問(wèn)在橢圓上是否存在兩點(diǎn)、關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng),，若存在求出b的范圍，不存在說(shuō)明理由.

解：（1）橢圓與相似.

因?yàn)闄E圓的特征三角形是腰長(zhǎng)為2，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形

而的特征三角形是腰長(zhǎng)為4，底邊長(zhǎng)為的等腰三角形，

因此兩個(gè)等腰三角形相似，且相似比為1：2

（2）橢圓的方程為：.      

假定存在，則設(shè)、所在直線(xiàn)為，中點(diǎn)為.

則.    

所以，.

中點(diǎn)在直線(xiàn)上，所以有.      又中點(diǎn)在橢圓內(nèi)  

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為F1、F2、B，我們稱(chēng)△F1BF2為橢圓C的特征三角形．如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比．
（1）已知橢圓和判斷C2與C1是否相似，如果相似則求出C2與C1的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；
（2）寫(xiě)出與橢圓C1相似且半短軸長(zhǎng)為b的橢圓Cb的方程，并列舉相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；
（3）已知直線(xiàn)l：y=x+1，在橢圓Cb上是否存在兩點(diǎn)M、N關(guān)于直線(xiàn)l對(duì)稱(chēng)，若存在，則求出函數(shù)f（b）=|MN|的解析式．

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（本小題滿(mǎn)分13分）

如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為、，離心率為，過(guò)點(diǎn)的直線(xiàn)交橢圓于、兩點(diǎn)．

（1）求橢圓的方程；

（2）①求直線(xiàn)的斜率的取值范圍；

②在直線(xiàn)的斜率不斷變化過(guò)程中，探究和是否總相等？若相等，請(qǐng)給出證明，若不相等，說(shuō)明理由．

 

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如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、、，我們稱(chēng)為橢圓的特征三角形.如果兩個(gè)橢圓的特征三角形是相似的，則稱(chēng)這兩個(gè)橢圓是“相似橢圓”，且三角形的相似比即為橢圓的相似比.

（1）已知橢圓和，判斷與是否相似，如果相似則求出與的相似比，若不相似請(qǐng)說(shuō)明理由；

（2）若與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓為，且直線(xiàn)與橢圓為相交于兩點(diǎn)(異于端點(diǎn))，試問(wèn)：當(dāng)面積最大時(shí)， 是否與有關(guān)？并證明你的結(jié)論.

（3）根據(jù)與橢圓相似且半短軸長(zhǎng)為的橢圓的方程，提出你認(rèn)為有價(jià)值的相似橢圓之間的三種性質(zhì)（不需證明）；

 

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如圖，已知橢圓的焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過(guò)作的外角平分線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作軸的垂線(xiàn)，垂足為，線(xiàn)段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為_(kāi)_______________

 

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