Question

設(shè)F是橢圓C：

x2

a

+

y2

b

=1(a＞0，b＞0)的右焦點(diǎn)，C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到F的最大距離為d，若C的右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使得PF=d，則橢圓C的離心率的取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：由橢圓上點(diǎn)C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到F的最大距離為d進(jìn)而求得到a+c=4，根據(jù)：“右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使得|PF|=d”，進(jìn)而看

a2

c2

-c與4的大小關(guān)系，進(jìn)而求得a和c的不等式關(guān)系求得e的范圍．

解答：解：由橢圓上點(diǎn)C的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到F的最大距離為d，
結(jié)合橢圓特點(diǎn)可得：
∴a+c=4
若右準(zhǔn)線上存在點(diǎn)P，使得|PF|=d，
則

a2

c2

-c≤4，
∴

(4-c)2

c2

-c≤4，
解之得：c≥

4

3

則橢圓C的離心率e=

c

a

=

c

4-c

=

1

4 c -1

≥

1

2

．
又0＜e＜1
則橢圓C的離心率的取值范圍是 [

1

2

，1)
故答案為 [

1

2

，1)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的簡(jiǎn)單應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是熟練掌握橢圓中長(zhǎng)軸、半軸、焦距、準(zhǔn)線及離心率的關(guān)系．