Question

已知函數f（x）=x+

1

x

．
（1）判斷函數f（x）的奇偶性，并畫出函數f（x）的簡圖；
（2）求出函數f（x）的單調區(qū)間；
（3）求函數g（x）=x+

1

x+1

（x≥2）的最小值．

Answer 1

考點：函數奇偶性的判斷,函數的單調性及單調區(qū)間,函數的最值及其幾何意義

專題：函數的性質及應用

分析：（1）根據函數奇偶性的定義即可判斷f（x）為奇函數，然后通過x取幾個值，并求出對應的f（x）值，通過描點、連線畫出f（x）在（0，+∞）的簡圖，再根據f（x）圖象根據原點對稱，畫出它在（-∞，0）的圖象；
（2）通過函數f（x）圖象即可得到f（x）的單調區(qū)間；
（3）令y=g（x），x+1=t，t≥3，原函數變成y=t+

1

t

-1，根據（2）判斷函數t+

1

t

在[3，+∞）的單調性，根據單調性即可求出該函數的最小值，從而求出t+

1

t

-1的最小值，即求出g（x）的最小值．

解答： 解：（1）函數f（x）的定義域為{x|x≠0}，f（-x）=-x-

1

x

=-（x+

1

x

）=-f（x）；
∴函數f（x）是奇函數，則f（x）的圖象關于原點對稱；
x=

1

2

，1，2，3，4時，對應的f（x）=

5

2

，2，

5

2

，

10

3

，

17

4

，通過描點連線即可畫出f（x）在（0，+∞）上的圖象，并根據f（x）圖象關于原點對稱，作出f（x）在（-∞，0）的圖象，如下圖所示：
（2）由圖象可看出f（x）的單調增區(qū)間為：（-∞，-1），（1，+∞），單調減區(qū)間為：（0，1]，[-1，0）；
（3）令y=g（x），x+1=t，t≥3，則：
y=t+

1

t

-1，由（2）知t+

1

t

在[3，+∞）上單調遞增，所以t=3時，t+

1

t

取最小值

10

3

；
∴t+

1

t

-1取最小值

7

3

；
∴g（x）的最小值為

7

3

．

點評：考查奇函數的定義，畫函數簡圖的方法，根據圖象找函數的單調區(qū)間，以及根據函數單調性求函數的最值．