Question

已知函數(shù)在處取得極值.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）設(shè)是曲線上除原點(diǎn)外的任意一點(diǎn),過(guò)的中點(diǎn)且垂直于軸的直線交曲線于點(diǎn),試問(wèn)：是否存在這樣的點(diǎn),使得曲線在點(diǎn)處的切線與平行？若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在,說(shuō)明理由；

（Ⅲ）設(shè)函數(shù),若對(duì)于任意,總存在,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，坐標(biāo)為；（Ⅲ）的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由題意知，解出；（Ⅱ）先假設(shè)存在這樣的點(diǎn)并設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)斜率相等列出等式，解得即可；（Ⅲ）有3中解法，1的基本思路是：先利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值，然后說(shuō)明在上的最小值不能大于的最小值，根據(jù)這一條件求得的范圍；2的基本思路是：先利用導(dǎo)數(shù)求得的最小值-2，要使總存在,使得成立，說(shuō)明在上有解，利用二次函數(shù)知識(shí)解答；3的基本思路和2有相似地方，只是在說(shuō)明在上有解時(shí)，不是利用二次函數(shù)知識(shí)，而是利用換元和分離參數(shù)法解答.

試題解析：⑴∵,∴.又在處取得極值.

∴,即,解得,,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意,∴. 

⑵由⑴知.假設(shè)存在滿足條件的點(diǎn),且,則,

又.則由,得,∴,∵,

∴,得.故存在滿足條件的點(diǎn)

此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)為或.

⑶解法： ,令,得或.

當(dāng)變化時(shí),、的變化情況如下表：

	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

∴在處取得極小值,在處取得極大值.

又時(shí),,∴的最小值為.     

∵對(duì)于任意的,總存在,使得,

∴當(dāng)時(shí),最小值不大于.又.

∴當(dāng) 時(shí),的最小值為,由,得；

當(dāng)時(shí),最小值為,由,得；

當(dāng)時(shí),的最小值為.由,即,解得或.又,∴此時(shí)不存在.

綜上,的取值范圍是.

解法：同解法得的最小值為.

∵對(duì)于任意的,總存在,使得,∴當(dāng)時(shí),有解,即在上有解.設(shè),則

得,  或,得或.

∴或時(shí),在上有解

故的取值范圍是.

   解法：同解法得的最小值為.  

∵對(duì)于任意的,總存在,使得,∴當(dāng)時(shí),有解,即在上有解.令,則,∴.

∴當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),得,不成立,∴不存在；

當(dāng)時(shí),.令,∵時(shí),,∴在

上為減函數(shù),∴,∴.

   綜上,的取值范圍是.   

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、二次函數(shù)、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性.