Question

已知橢圓C₁：（a＞b＞0）的右頂點為A（1，0），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1。

（1）求橢圓C₁的方程；
（2）設點P在拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）上，C₂在點P處的切線與C₁交于點M、N。當線段AP的中點與MN的中點的橫坐標相等時，求h的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意，得 從而 因此，所求的橢圓方程為；
（2）如圖，設 則拋物線C2在點P處的切線斜率為 直線MN的方程為：y=2tx-t2+h 將上式代入橢圓C1的方程中，得4x2+（2tx-t2+h）2-4=0 即  ① 因為直線MN與橢圓C1有兩個不同的交點， 所以①式中的Δ=16[-t4+2（h+2）t2-h2+4] >0  ② 設線段MN的中點的橫坐標是x3，則 設線段PA的中點的橫坐標是x4，則 由題意，得x3=x4，即t2+（1+h）t+1=0  ③  由③式中的Δ2=（1+h）2-4≥0，得h≥1或h≤-3 當h≤-3時，h+2<0，4-h2<0，則不等式②不成立， 所以h≥1 當h=1時，代入方程③得t=-1 將h=1，t=-1代入不等式②，檢驗成立， 所以，h的最小值為1。