Question

14．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-a|，a∈R．
（Ⅰ）若a=1，求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）若不等式f（x）≤5的解集為A，且2∉A，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）因為a=1，所以f（x）=|x+1|+|x-1|≥|x+1-x+1|=2，即可求函數(shù)f（x）的最小值；
（Ⅱ）因為2∉A，所以f（2）＞5，即|a+2|+|a-2|＞5，分類討論，即可求a的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）因為a=1，所以f（x）=|x+1|+|x-1|≥|x+1-x+1|=2，
當且僅當（x+1）（x-1）≤0時，即-1≤x≤1時，f（x）的最小值為2．（5分）
（Ⅱ）因為2∉A，所以f（2）＞5，即|a+2|+|a-2|＞5，（7分）
當a＜-2時，不等式可化為-a-2-a+2＞5，解得$a＜-\frac{5}{2}$，所以$a＜-\frac{5}{2}$；
當-2≤a≤2時，不等式可化為a+2-a+2＞5，此時無解；
當a＞2時，不等式可化為a+2+a-2＞5，解得$a＞\frac{5}{2}$，所以$a＞\frac{5}{2}$；
綜上，a的取值范圍為$（{-∞，-\frac{5}{2}}）∪（{\frac{5}{2}，+∞}）$．（10分）

點評 本題考查不等式的解法，考查絕對值不等式的運用，考查分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．