Question

9．在如圖所示的四邊形ABCD中，已知AB⊥AD，∠ABC=120°，∠ACD=60°，AD=2$\sqrt{3}$，設(shè)∠ACB=θ，點(diǎn)C到AD的距離為h．
（1）當(dāng)θ=15°，求h的值；
（2）求AB+BC的最大值．
（3）若△ABD的外接圓與△CBD的外接圓重合，求S_△ABC．

Answer 1

分析 （1）在△ACD中使用正弦定理求出CD，則h=CDsin∠ADC；
（2）在△ACD中使用正弦定理求出AC，在△ABC中使用正弦定理用θ表示出AB，BC，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問(wèn)題求解；
（3）△ABD的外接圓與△CBD的外接圓重合可知四點(diǎn)共圓，從而求出∠ACB和∠BAC，使用正弦定理解出各邊，帶入面積公式．

解答 解：（1）∠BAC=180°-120°-15°=45°，∠CAD=90°-∠BAC=45°，∴∠ADC=75°．
在△ACD中，由正弦定理得：$\frac{AD}{sin60°}=\frac{CD}{sin45°}$，∴CD=$\frac{ADsin45°}{sin60°}$=2$\sqrt{2}$．
∴h=CD•sin∠ADC=2$\sqrt{2}$•sin75°=$\sqrt{3}$+1．
（2）∠BAC=60°-θ，∴∠CAD=30°+θ，∠ADC=90°-θ．
在△ACD中，∵$\frac{AD}{sin∠ACD}=\frac{AC}{sin∠ADC}$，∴$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}=\frac{AC}{sin（90°-θ）}$，解得AC=4cosθ．
在△ABC中，∵$\frac{AB}{sin∠ACB}=\frac{BC}{sin∠BAC}=\frac{AC}{sin∠ABC}$，∴$\frac{AB}{sinθ}=\frac{BC}{sin（60°-θ）}=\frac{4cosθ}{sin120°}$．
解得AB=$\frac{8sinθcosθ}{\sqrt{3}}$，BC=4cos²θ-$\frac{4sinθcosθ}{\sqrt{3}}$，
∴AB+BC=4cos²θ+$\frac{4sinθcosθ}{\sqrt{3}}$=2cos2θ+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sin2θ+2=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$sin（2θ+φ）+2．
∴當(dāng)sin（2θ+φ）=1時(shí)，AB+BC取得最大值$\frac{4\sqrt{3}}{3}$+2．
（3）∵△ABD的外接圓與△CBD的外接圓重合，∴A，B，C，D四點(diǎn)共圓．
∴∠BCD=90°，∠ACB=∠BAC=∠D=30°，
在△ABC中，∵$\frac{AC}{sin120°}=\frac{AB}{sin30°}=\frac{BC}{sin30°}$，∴AB=BC=2，∴S_△ABC=$\frac{1}{2}AB•BC•sin120°$=$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理在解三角形中的應(yīng)用，屬于中檔題．