Question

3．在平面直角坐標系xOy中，橢圓C的中心為原點，焦點F在x軸上，D為短軸上一個端點，且△DOF的內切圓的半徑為$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$，離心率e是方程2x²-5x+2=0的一個根．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設過原點的直線與橢圓C交于A，B兩點，過橢圓C的右焦點作直線l∥AB交橢圓C于M，N兩點，是否存在常數λ，使得|AB|²=λ|MN|？若存在，請求出λ；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），運用離心率公式和內切圓的性質以及三角形的面積公式，計算即可得到a，b，c，進而得到橢圓方程；
（2）設出直線l的方程為x=my+1，代入橢圓方程，運用韋達定理和弦長公式，再設直線x=my，代入橢圓方程，運用弦長公式，化簡可得|AB|，再由計算即可得到所求常數λ．

解答 解：（1）設橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），
由題意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{2}$，
a²-b²=c²，
$\frac{1}{2}$bc=$\frac{1}{2}$•$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$（a+b+c），
解方程可得a=2，b=$\sqrt{3}$，c=1，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設l的方程為x=my+1，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
由$\left\{\begin{array}{l}{x=my+1}\\{3{x}^{2}+4{y}^{2}=12}\end{array}\right.$
得（3m²+4）y²+6my-9=0，
即有y₁+y₂=-$\frac{6m}{4+3{m}^{2}}$，y₁y₂=-$\frac{9}{4+3{m}^{2}}$，
|MN|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}}$
=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\sqrt{（\frac{-6m}{4+3{m}^{2}}）^{2}+\frac{36}{4+3{m}^{2}}}$=$\frac{12（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$，
設A（x₃，y₃），B（x₄，y₄），
由x=my代入橢圓方程可得
消去x，并整理得y²=$\frac{12}{4+3{m}^{2}}$，
|AB|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•|y₃-y₄|=$\sqrt{1+{m}^{2}}$•$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{4+3{m}^{2}}}$，
即有$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN|}$=$\frac{48（1+{m}^{2}）}{4+3{m}^{2}}$•$\frac{4+3{m}^{2}}{12（1+{m}^{2}）}$=4．
故存在常數λ=4，使得|AB|²=4|MN|．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的離心率公式和內切圓的性質，考查弦長的求法，注意運用直線方程和橢圓方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．