Question

已知函數(shù)．

（1）函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)?證明你的結(jié)論；

（2）若當(dāng)時，恒成立, 求正整數(shù)k的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)；3 解：(1)　＝＝－ ∵，∴，．∴＜0。 因此函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)． （2）（方法1）當(dāng)時，恒成立,　令有 又k為正整數(shù)．∴k的最大值不大于3． 下面證明當(dāng)k＝3時，（）恒成立． 即證當(dāng)時，＋1－2x>0恒成立． 令g(x)＝＋＋1－2x，則＝－1， 當(dāng)x>e－1時，＞0；當(dāng)0＜x＜e－1時，＜0． ∴當(dāng)x＝e－1時，g（x）取得最小值g(e－1)＝3－e＞0． ∴當(dāng)x>0時，＋1－2x＞0恒成立． 因此正整數(shù)k的最大值為3． （2）（方法2）當(dāng)x>0時，f（x）＞恒成立, 即h（x）=>k對x>0恒成立.即h（x）(x>0) 的最小值大于k.. =,記＝x－1－ln（x＋1）．(x>0) 則＝＞0，∴在（0，＋）上連續(xù)遞增， 又＝1－ln3<0,＝2－2ｌｎ2＞0， ∴＝0存在惟一實(shí)根ａ，且滿足：a ，a＝1＋ｌn(a+1)． 由x＞ａ時，＞0，＞0；0＜x＜ａ時，＜0，＜0知： h（x）(x>0) 的最小值為h（a）＝＝a＋1． 因此正整數(shù)k的最大值為3．