Question

如圖，四棱錐中，,,分別為的中點(diǎn).

(Ⅰ)求證：;
(Ⅱ)求證：.

Answer 1

見解析

（I）取的中點(diǎn)，連接
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015737416318.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以，
又,
所以
因此四邊形是平行四邊形.
所以
又平面，平面，
因此平面.

另解：連結(jié).
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015737665302.png" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以
又所以
又，所以四邊形為平行四邊形，因此.
又平面，所以平面.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015737821426.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn)，所以
又平面，所以平面.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015737915620.png" style="vertical-align:middle;" />，所以平面平面.
（II）證明 因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015737821426.png" style="vertical-align:middle;" />分別為的中點(diǎn)，
所以，又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824015737993497.png" style="vertical-align:middle;" />，所以
同理可證.
又,平面，平面，
因此平面.
又分別為的中點(diǎn)，所以.
又，所以
因此平面，
又平面，所以平面平面.

【考點(diǎn)定位】本題考查空間直線與平面，平面與平面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力和空間想象能力.要證平面，可證明平面與所在的某個(gè)平面平行，不難發(fā)現(xiàn)平面平面.證明平面平面時(shí)，可選擇一個(gè)平面內(nèi)的一條直線（）與另一個(gè)平面垂直.線面關(guān)系與面面關(guān)系的判斷離不開判定定理和性質(zhì)定理，而形成結(jié)論的“證據(jù)鏈”依然是通過挖掘題目已知條件來實(shí)現(xiàn)的，如圖形固有的位置關(guān)系，中點(diǎn)形成的三角形的中位線等，都為論證提供了豐富的素材.