Question

【題目】已知函數(shù)，.

（1）若曲線僅在兩個不同的點，處的切線都經(jīng)過點，求證：，或；

（2）當(dāng)時，若恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）先對函數(shù)進行求導(dǎo)，再借助導(dǎo)數(shù)的幾何意義推證；（2）先將不等式進行轉(zhuǎn)化，再借助導(dǎo)數(shù)知識求解：

試題解析：

（1）證明：∵，∴，

∴，

則曲線在兩點處的切線的方程分別為：

，

.

將代入兩條切線方程，得

，

.

由題可得方程即有且僅有兩個不相等的兩個實根.

設(shè)，

.

①當(dāng)時，，∴單調(diào)遞增，顯然不成立.

②當(dāng)時，，解得或.

∴的極值分別為，.

要使得關(guān)于的方程有且僅有兩個不相等的實根，

則或.

（2）解：，

設(shè)，則，

記，則，

當(dāng)時，，于是在上是減函數(shù)，

從而當(dāng)時，，故在上是減函數(shù)，

于是，從而，所以當(dāng)時，.

所以，當(dāng)時，在上恒成立，

因此，的取值范圍是.