Question

已知點(diǎn)列B₁（1，b₁），B₂（2，b₂），…，B_n（n，b_n），…（n∈N）順次為拋物線(xiàn)y=x²
上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B_n（n，b_n）作拋物線(xiàn)y=x²的切線(xiàn)交x軸于點(diǎn)A_n（a_n，0），點(diǎn)C_n（c_n，0）在x軸上，且點(diǎn)A_n，B_n，C_n構(gòu)成以點(diǎn)B_n為頂點(diǎn)的等腰三角形．
（1）求數(shù)列{a_n}，{c_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在n使等腰三角形A_nB_nC_n為直角三角形，
若有，請(qǐng)求出n；若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為S_n，求證：≤S_n＜．

Answer 1

解：∵y= x²，∴y′=，y′|_x=n=，
∴點(diǎn)B_n（n，b_n）作拋物線(xiàn)y=x²的切線(xiàn)方程為：y﹣=（x﹣n），
令y=0，則x=，即a_n=；
∵點(diǎn)A_n，B_n，C_n構(gòu)成以點(diǎn)B_n為頂點(diǎn)的等腰三角形，
∴a_n+c_n=2n，∴c_n=2n﹣a_n=  
（2）解：若等腰三角形A_nB_nC_n為直角三角形，
則|A_nC_n|=2b_n∴n=，∴n=2，
∴存在n=2，使等腰三角形A₂B₂C₂為直角三角形  
（3）證明：∵===（﹣）
S_n=（1﹣+﹣+…+﹣）=（1﹣）＜
又1﹣隨n的增大而增大，
∴當(dāng)n=1時(shí)，S_n的最小值為：（1﹣）=，
∴≤S_n＜