Question

給出下列五個(gè)命題：其中正確的命題有______（填序號(hào)）．
①函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）的圖象與x軸圍成的圖形的面積S=

∫

π-π

sinxdx；
②

C

r+1n+1

=

C

r+1n

+

C

rn

；
③在（a+b）ⁿ的展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和；
④i+i²+i³+…i²⁰¹²=0；
⑤用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N*)的過程中，由假設(shè)n=k成立推到n=k+1成立時(shí)，只需證明

1

k+1

+

1

k+2

+

1

k+3

+…+

1

2k

+

1

2k+1

+

1

2(k+1)

＞

13

24

即可．

Answer 1

①函數(shù)y=sinx（x∈[-π，π]）的圖象與x軸圍成的圖形的面積=-

∫

0-π

sinxdx+

∫

π0

sinxdx=2×cosx

|

0-π

=4，而面積S=

∫

π-π

sinxdx=0，因此不正確；
②由組合數(shù)的性質(zhì)可知：在n∈N^*，r∈N的條件下所給的式子成立，因此正確；
③在（a+b）ⁿ的展開式中，分別令a=1，b=-1，則

C

0n

+

C

2n

+…=

C

1n

+

C

3n

+…，即奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，因此正確；
④根據(jù)i⁴ⁿ=1，i⁴ⁿ⁺¹=i，i⁴ⁿ⁺²=-1，i⁴ⁿ⁺³=-i，則i+i²+i³+…i²⁰¹²=

i(i2012-1)

i-1

=

i(1-1)

i-1

=0，因此正確；
⑤用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

1

n+1

+

1

n+2

+

1

n+3

+…+

1

2n

＞

13

24

，(n≥2，n∈N*)的過程中，由假設(shè)n=k成立推到n=k+1成立，
只需證明

1

(k+1)+1

+

1

(k+1)+2

+…+

1

2(k+1)

＞

13

24

成立即可，因此⑤不正確．
綜上可知：只有②③④正確．
故答案為②③④．