Question

（2013•廣州三模）已知數(shù)列{a_n}的前n項和的平均數(shù)為2n+1
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）設cn=

an

2n+1

，試判斷并說明cn+1-cn(n∈N*)的符號；
（3）設函數(shù)f(x)=-x2+4x-

an

2n+1

，是否存在最大的實數(shù)λ？當x≤λ時，對于一切非零自然數(shù)n，都有f（x）≤0．

Answer 1

分析：（1）依題意，S_n=n（2n+1），當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，再求得a₁，即可求得{a_n}的通項公式；
（2）c_n=2-

3

2n+1

，c_n+1=2-

3

2n+3

，二者作差判斷即可；
（3）f（x）≤0?-x²+4x≤

an

2n+1

=c_n，由（2）知c₁=1是數(shù)列{c_n}的最小項，于是-x²+4x≤c₁=1，解之結合題意即可確定λ的值．

解答：解：（1）由題意，a₁+a₂+a₃+…+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+a₃+…+a_n-1=（n-1）（2n-1），
兩式相減得：a_n=4n-1，（n≥2），而a₁=3，
∴a_n=4n-1，（n∈N^*），
（2）c_n=

an

2n+1

=

4n-1

2n+1

=2-

3

2n+1

，c_n+1=2-

3

2n+3

，
c_n+1-c_n=

3

2n+1

-

3

2n+3

＞0，
∴c_n+1＞c_n
（3）由（2）知c₁=1是數(shù)列{c_n}的最小項．
當x≤λ時，對于一切非零自然數(shù)n，都有f（x）≤0，
即-x²+4x≤

an

2n+1

=c_n，
∴-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，
解得x≥2+

3

或x≤2-

3

，
∴取λ=2-

3

．

點評：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，突出考查等差數(shù)列通項的確定，考查恒成立問題，考查分類常數(shù)法與作差法比較大小，屬于難題．