Question

數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，a₁＝1，a_n+1＝2S_n＋1(n≥1)．

(1)求{a_n}的通項公式；

(2)等差數(shù)列{b_n}的各項為正，其前n項和為T_n，且T₃＝15，又a₁＋b₁，a₂＋b₂，a₃＋b₃成等比數(shù)列，求T_n．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由an+1＝2Sn＋1，得an＝2Sn－1＋1(n≥2)．兩式相減，得an+1－an＝2an，即an+1＝3an(n≥2)． 　　又a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1． 　　故{an}是首項為1，公比為3的等比數(shù)列． 　　∴an＝3n－1． 　　(2)設(shè){bn}的公差為d， 　　由T3＝15，得b1＋b2＋b3＝15，則b2＝5． 　　故可設(shè)b1＝5－d，b3＝5＋d， 　　又a1＝1，a2＝3，a3＝9， 　　由題意，得(5－d＋1)(5＋d＋9)＝(5＋3)2． 　　解得d1＝2，d2＝－10． 　　∵等差數(shù)列{bn}的各項為正，∴d＞0．∴d＝2．∴b1＝3． 　　∴Tn＝3n＋×2＝n2＋2n． 　　思路分析：(1)利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)找出相鄰兩項之間的關(guān)系式，進而判斷數(shù)列是否為特殊數(shù)列；(2)關(guān)鍵是求出等差數(shù)列{bn}的首項和公差．