Question

5．設(shè)函數(shù)f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax．
（I）若f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，且x₁x₂=1，求實(shí)數(shù)a的值；
（II）是否存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)？若存在，求出a的值，若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由題意可知導(dǎo)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)x₁，x₂，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合x(chóng)₁•x₂=1求得a值；
（Ⅱ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，導(dǎo)函數(shù)為二次項(xiàng)系數(shù)大于0的二次函數(shù)，若f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，則導(dǎo)函數(shù)在實(shí)數(shù)集上大于等于0恒成立，轉(zhuǎn)化為△小于等于求解．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=6x³+3（a+2）x²+2ax，
f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a．
∵f（x）的兩個(gè)極值點(diǎn)為x₁，x₂，且x₁•x₂=1，
∴方程18x²+6（a+2）x+2a=0的兩根為x₁，x₂，且x₁•x₂=1，
∴$\frac{2a}{18}=1$，得a=9；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f′（x）=18x²+6（a+2）x+2a．
若存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)，
則f′（x）≥0，即18x²+6（a+2）x+2a≥0．
∴△=36（a+2）²-4×18×2a≤0，
即36a²+144≤0，此時(shí)顯然不成立．
∴不存在實(shí)數(shù)a，使得f（x）是R上的單調(diào)函數(shù)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的極值點(diǎn)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)間的關(guān)系的應(yīng)用，是中檔題．