Question

【題目】已知函數(shù)，函數(shù)的圖像為直線．

（Ⅰ）當時，若函數(shù)的圖像永遠在直線下方，求實數(shù)的取值范圍；

（Ⅱ）當時，若直線與函數(shù)的圖像的有兩個不同的交點，線段的中點為 ，求證：．

Answer 1

【答案】（1）的取值范圍是；（2）見解析.

【解析】

（1）當時，若函數(shù)的圖像永遠在直線下方，轉(zhuǎn)化為在上恒成立上，設(shè)，利用導數(shù)得到在時取得最大值，即可求解實數(shù)的取值范圍；

（2）設(shè)的橫坐標是，要證，轉(zhuǎn)化為證，

不妨設(shè)，則，轉(zhuǎn)化為證明，進而轉(zhuǎn)化為即證，令，等價于證明在時恒成立. 構(gòu)造新函數(shù)，利用導數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最值，即可得到結(jié)論．

（1）當時，若函數(shù)的圖像永遠在直線下方，即，

在上恒成立，即在上恒成立上．

設(shè)，對求導得 ，

, ，

所以在時取得極大值，也是最大值，于是的取值范圍是．

（2）設(shè)的橫坐標是（不妨設(shè))，

要證，只需證，即證，

即證， 即證，

，只需證明：，

不妨設(shè)，則，所以只需證，

即證，只需證，

因為直線與曲線相交，所以,，

所以

則只需證，即證：，即證（※），

下面構(gòu)造函數(shù)證明之：因為已設(shè)，且由的定義域知，，

所以令，則（※）等價于證明在時恒成立.

為此構(gòu)造函數(shù)，則，

于是當時，，即在上遞增，

又，所以在恒成立，即在時恒成立，

則（※）成立，于是原命題成立．