Question

5．定義在R上的奇函數(shù)f（x），當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|x-3|-1，x＞1}\\{lo{g}_{2}（x+1），0≤x≤1}\end{array}\right.$則函數(shù)g（x）=f（x）-m（0＜m＜1）的所有零點(diǎn)之和為（　�。�

• A． 1-2^m
• B． 2^m-1
• C． 1-（$\frac{1}{2}$）^m
• D． （$\frac{1}{2}$）^m-1

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）為R上的奇函數(shù)，從而可以得出x＜0時(shí)，f（x）的解析式，根據(jù)f（x）的解析式便可畫(huà)出f（x）在R上的圖象，可設(shè)f（x）=m的實(shí)根為a，b，c，d，e，根據(jù)圖象便可得出a+b=-6，d+e=6，而0＜c＜1，從而有f（c）=log₂（c+1）=m，這樣即可求出c，從而可以求出g（x）所有零點(diǎn)之和．

解答 解：∵函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
∴當(dāng)x＜0時(shí)，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}{1-|x+3|}&{x＜-1}\\{-lo{g}_{2}（1-x）}&{-1＜x＜0}\end{array}\right.$；
作出函數(shù)f（x）在R圖象如圖：

由g（x）=f（x）-m=0，即f（x）=m；
由圖象可知函數(shù)f（x）=m有5個(gè)根，不妨設(shè)為x=a，b，c，d，e．且a＜b＜c＜d＜e；
則a，b關(guān)于x=-3對(duì)稱，d，e關(guān)于x=3對(duì)稱，0＜c＜1；
∴$\frac{a+b}{2}=-3，\frac{d+e}{2}=3$；
∴a+b=-6，d+e=6；
∵0＜c＜1；
由f（c）=m得，log₂（c+1）=m；
∴c+1=2^m；
∴c=2^m-1；
∴零點(diǎn)之和為a+b+c+d+e=-6+2^m-1+6=2^m-1．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 考查奇函數(shù)的定義，對(duì)于奇函數(shù)，已知一區(qū)間上的函數(shù)解析式可以求其對(duì)稱區(qū)間上的解析式，能畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象是本題求解的關(guān)鍵，以及對(duì)數(shù)式和指數(shù)式的互化，數(shù)形結(jié)合解題的方法．