Question

已知向量

β

=

.

3 1

.

，變換T的矩陣為A=

.

1 b c 1

.

，平面上的點P（1，1）在變換T作用下得到點P′（3，3），求A⁴

β

．

Answer 1

分析：先利用待定系數(shù)法建立一個二元一次方程組，解方程組即可得出變換T的矩陣，再根據特征值的定義列出特征多項式 f（λ），令f（λ）=0解方程可得特征值，再由特征值列出方程組即可解得相應的特征向量，最后

β

利用特征向量的性質計算，先利用特征向量表示向量

β

，后將求 A⁴

β

的值的問題轉化成求有關特征向量的計算問題．

解答：解：則有

1 b c 1

1 1

=

3 3

，
所以

1+b=3 c+1=3

，
解得

b=2 c=2

，所以T=

1 2 2 1

，
矩陣T的特征多項式為 f（λ）=

.

λ-1 2 2 λ-1

.

=λ²-2λ-1，
令f（λ）=0，得λ₁=-1，λ₂=3，
當λ₁=-1時，得 

α1

=

1 1

，當λ₂=3時，得

α2

=

1 -1

．（7分）
由 

β

=m

α1

+n

α2

得 

m+n=3 m-n=1

，得m=2，n=1．
∴A⁴

β

=2λ

4 1

α1

+λ

4 2

α2

=

163 161

（15分）

點評：本題主要考查了特征值與特征向量的計算以及利用特征向量求向量乘方的問題，屬于向量中的基礎題．